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在继续做物理知识总结前，先总结一些数学的知识点，方面后面对物理的理解。数学的笔记都很长，也不好分开，所以可能会反复回来修改与增加。
偏微分 (Partial Differentiation)
对于一个函数 f(x, y) ，我们可以做偏微分
\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x
\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x
脚标经常省略。这里的脚标代表着哪个变量保持不变。
\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2},
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}最后一个关系式非常重要。
\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}
\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} 可以考虑成运算符 (Operators)。
全微分 (The Total Differential)
对于函数 f(x, y) 的全微分为
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy恰当&非恰当微分 (Exact & Inexact Differentials)
比方说
df = x dy + y dx
就是一个恰当微分，因为 \frac{\partial f}{\partial x} = y,\ \frac{\partial f}{\partial y} = x ，
\frac{\partial f}{\partial x} = y,\ \frac{\partial f}{\partial y} = x 我们可以看出
f(x, y)= xy + const.
但是如果
\delta f = x dy – ydx
\delta f = x dy - ydx
这里用了 \delta f 而不是 df ，是因为这是一个非恰当微分。（书写还常用d上面加一杠）
因为找不到一个 f(x, y) 能满足上面式子。
例子：在热力学中有一个经典的例子
dU = \delta Q + \delta W
dU = \delta Q + \delta W
表示内能 (Internal Energy) 的改变来源于热能 (Heat) 的输入或流失以及做功 (Work Done)
这个和是一个恰当微分，但是后面两个项都是非恰当微分。
利用热力学势 (Thermodynamic Potentials) 可以改写成一个恰当微分
dU = T dS – p dV
dU = T dS - p dV
（关于具体物理的知识点后续会补齐）
判断恰当微分
因为全微分可以被写成
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = Adx + Bdy
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = Adx + Bdy又因为
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}我们可以通过
\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}
\frac{\partial A}{\partial y} = \frac{\partial B}{\partial x}来判断是否是恰当微分。如果函数 f(x,y) 存在，那么上述等式一定成立。
相反，如果等式不成立，也就代表不存在此函数，也就是一个非恰当微分。
例子： dU = T dS – p dV
\Rightarrow T = \frac{\partial U}{\partial S},\ -p = \frac{\partial U}{\partial V}
\Rightarrow \frac{\partial^2 U}{\partial V \partial S} = \frac{\partial T}{\partial V},\ \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial V} = -\frac{\partial p}{\partial S}
\Rightarrow T = \frac{\partial U}{\partial S},\ -p = \frac{\partial U}{\partial V}
\Rightarrow \frac{\partial^2 U}{\partial V \partial S} = \frac{\partial T}{\partial V},\ \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial V} = -\frac{\partial p}{\partial S}所以
\frac{\partial T}{\partial V} = – \frac{\partial p}{\partial S}
\frac{\partial T}{\partial V} = - \frac{\partial p}{\partial S}这也是四个麦克斯韦关系式 (Maxwell Relations) 中的一个。
偏微分中的链式法则 (Chain Rule)
因为全微分是
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy ，
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy ，因此链式法则一般被写成
\frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds}
\frac{df}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{ds}例子：对于2D平面，我们通常会用 P(x, y) 代表平面一点，但是同样的，
我们也可以用极坐标 (Polar Coordinates) 去表示它 P (r, \theta) 。
两者之间的转换如下
x = r \cos(\theta),\ y = r \sin(\theta)\\ \tan(\theta) = \frac{y}{x},\ r^2 = x^2 + y^2
x = r \cos(\theta),\ y = r \sin(\theta)\\ \tan(\theta) = \frac{y}{x},\ r^2 = x^2 + y^2假如有两个函数都是描述一个场 (Field)，分别用了不同的坐标系，即
f(x, y) = g(r, \theta)
f(x, y) = g(r, \theta)
那么如果走了一小步， r \rightarrow r+dr,\ \theta \rightarrow \theta + d\theta
r \rightarrow r+dr,\ \theta \rightarrow \theta + d\theta
那么通过链式法则
\frac{dg}{dr} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{dg}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}
\frac{dg}{dr} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} \\ \frac{dg}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}把所有条件代入便好。
我们也可以将结论写成便于使用的运算符
\frac{\partial }{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} = -r\sin(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + r\cos(\theta) \frac{\partial }{\partial y}
\frac{\partial }{\partial r} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial y} \\ \frac{\partial }{\partial \theta} = -r\sin(\theta) \frac{\partial }{\partial x} + r\cos(\theta) \frac{\partial }{\partial y}以及
\frac{\partial }{\partial x} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial r} – \frac{1}{r} \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial \theta} \\ \frac{\partial }{\partial y} = \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r} \cos(\theta)\frac{\partial }{\partial \theta}
\frac{\partial }{\partial x} = \cos(\theta) \frac{\partial }{\partial r} - \frac{1}{r} \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial \theta} \\ \frac{\partial }{\partial y} = \sin(\theta) \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r} \cos(\theta)\frac{\partial }{\partial \theta}注意，对于函数 f(x, y) ， \frac{dy}{dx} = 0 ，因为两个都是自变量。
泛化链式法则
将上面的例子泛化一下可以写出下面的关系式
\frac{\partial }{\partial u_j}= \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial u_j} \frac{\partial}{\partial x_i}
\frac{\partial }{\partial u_j}= \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial u_j} \frac{\partial}{\partial x_i}这里是用 x_1, x_2,…,x_i,… 代表一个坐标系， u_1, u_2, …, u_j,… 代表另一个。
警告！
一般我们会认为 \frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} ，
\frac{dy}{dx} = \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1} 但是这在偏微分中不一定成立。这在不省略脚标的情况下就很明显了。
例子： \left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta}
\left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y,\ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta}从图像中表示就是
这个图考虑的就是 \left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y，
\left( \frac{\partial r}{\partial x} \right)_y在 y 不变的情况下， x 的改变造成了 r 发生了改变 (图中的 \rho )，这时的改变会同时带来 \theta 的变化。
而这个图就是 \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta}，
\left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)_{\theta}在 theta 不变的情况下， r 的改变造成了 x 的改变，这时 y 也会发生变化。
当然，如果脚标所指的变量为统一个值，则没问题
\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_{\theta} = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{\theta}
\left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_{\theta} = \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_{\theta}方向导数 (Directional Derivatives)
这里重点就是一个梯度 (Gradient)，或grad
\vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}
\vec \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k}这里 f 是一个标量函数，所以出来的梯度函数 vec nabla f 就是一个向量。而数值上，他会给出该标量函数在某个点最大的梯度方向。而垂直于这个向量的方向梯度为0 （等梯度）。
编辑于 2021-08-06 23:13